lunes, 17 de agosto de 2009

Otra vez funciones continuas en acotados y cerrados

Bueno se me acaba de ocurrir hablar brevemente de eso
y se me ocurrió un teorema bien lindo y su demostración

Hay un teorema que dice que toda función continua definida sobre un intervalo cerrado y acotado tiene un valor máximo absoluto y un mínimo absoluto
Para la demostración hare uso de ciertos conceptos de topología...

1. Una "cubierta abierta" de un conjunto de números reales A es una colección G de conjuntos abiertos en R tales que su unión contiene a A
Si existe una subcolección de conjuntos G' de G que también contenta a A, se le llama "subcubierta" de G
Si G' consta de un número finito de conjuntos, entonces se le llama una subcubierta finita
Se define que un subconjunto de R es "compacto" si toda cubierta abierta tiene una subcubierta finita
La compactidad se preserva bajo funciones continuas, es decir, si tenemos un compacto A y tenemos f:A->R entonces f(A) es compacto

El Teorema de Heine-Borel ofrece una caracterización de los compactos en R ya que establece que un subconjunto de R es compacto si es cerrado y acotado

Ahora sí...vamos con la prueba, la voy a dar sólo para el supremo porq el ínfimo es análogo
dijimos que tenemos un intervalo A acotado y cerrado y una función f:A->R
bueno, por Heine-Borel A es un compacto
la compacidad se preserva; por lo tanto f(A) es un compacto y de nuevo por Heine-Borel es acotado y cerrado, lo cual nos dice que existe el supremo.
Para verificar que el supremo de hehco se alcanza, o sea que pertenece al conjunto de las f(x) con x en A=[a,b] basta suponer que no es así, por lo tanto se encuentra en el complemento que es un conjunto abierto (por definición de conjuntos cerrados) lo cual implica que fácilmente podemos encontrar una cota superior menor lo cual es una contradicción al Principio del Supremo, con esto se prueba que el supremo existe y se alcanza, por lo tanto la función tiene un valor máximo en este intervalo

...qué bonito no?

1 comentario:

  1. cuando llegues a análisis ya vas a saber todo, mau! jejeje :P

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