cardinalidad de enteros y naturales

Sean A y B conjuntos
Se define una relaci´on de A en B como un subconjunto de A×B, si (a, b) ∈ R
se escribe aRb y se dice que a est´a relacionado con b
Una funci´on de A en B es una relaci´on f de A en B tal que
∀a ∈ A∃!b ∈ B tal que afb
es decir, para cada elemento de A existe un ´unico elemento de B tal que
est´an relacionados
se acostumbra escribir f(a) = b y se dice que b es del valor de f en a
tambi´en se utiliza la notaci´on
f : A → B
Definici´on- Una funci´on se dice que es inyectiva si
∀a, b ∈ A f(a) = f(b) ⇒ a = b
es decir, a elementos distintos im´agenes distintas
por ejemplo, la funci´on f(x) = x2 no es inyectiva porque f(−1) = f(1) pero
1 distinto de −1
Definici´on- Una funci´on se dice que es suprayectiva si
∀b ∈ B ∃a ∈ A talquef(a) = b
es decir, todo elemento del contradominio viene de alg´un (no necesariamente
distinto) elemento del dominio
Definici´on- Una funci´on se dice que es biyectiva si es inyectiva y suprayectiva
a la vez
∀b ∈ B ∃!a ∈ A tal quef(a) = b
es decir, todos los elementos del dominio van a algún elemento del contradominio
y distintos
podr´ıamos pensar que s´olo existen funciones biyectivas entre conjuntos de
la misma cardinalidad lo cual es cierto por la definici´on de funci´on biyectiva
Definici´on- Un conjunto A se dice que es finito si existe una funci´on biyectiva
de los n´umeros naturales a A
f : {1, ..., n} → A
y se dice que A tiene cardinalidad n
Ahora con esto que ya vimos, vamos a intentar una cosa bastante divertida:
construir una funci´on biyectiva de los naturales a los enteros, si de hecho
1
se logra esto entonces estar´ıamos probando que los enteros y los naturales
tienen la misma cardinalidad
primero recordemos quienes son los enteros
{... − 5,−4,−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, 4, 5...}
y los naturales
{1, 2, 3, 4, 5...}
parece ser que los enteros son los naturales mas algo m´as; a pesar de esto,
intentemos construir la funci´on, pero antes hagamos un pequeo ejemplo
ilustrador
Supongamos que existe un hotel con infinito n´umero de cuartos y se encuentra
totalmente lleno, derepente llega un huesped m´as y pide una habitaci´on,
a pesar que se encuentra totalmente lleno el gerente no tiene problema alguno
para acomodarlo ya que s´olo les pidio a los hu´espedes que se recorrieran
un cuarto.
Supongamos que ahora llegan al mismo hotel de cuartos infinitos y totalmente
lleno infinito n´umero de hu´espedes, una vez m´as el gerente no tuvo
problema alguno para acomodarlos ya que s´olo les pidi´o a los hu´espedes que
se recorrieran pero dejando un cuarto de espacio entre ellos.
Precisamente, eso es lo que vamos a hacer
vamos a mandar los positivos a los impares y los negativos a los pares
f : Z → N

2n + 1 si n ≥ 0
f(n)=
−2n si n < 0
Es inyectiva porque si uno es positivo y el otro negativo tendr´ıan distina
paridad y no ser´ıan iguales ahora supongamos que de hecho f(n) = f(m)
si n ≥ 0 y m ≥ 0 ⇒ 2n + 1 = 2m + 1 ⇒ n = m
si n ≤ 0 y m ≤ 0 ⇒ −2n = −2m ⇒ n = m
Es suprayectiva porque... Sea m ∈ N
si m es par (2k) f(-k)=-2(-k)=2k=m
si m es impar (2k+1) f(k)=2k+1=m
por lo tanto esta funci´on fue biyectiva y podemos afifmar que el conjunto
de los n´umeros naturales tiene la misma cardinalidad que la de los n´umero
enteros y esta se denomina ℵ0 Aleph0 la 1er letra del alfabeto hebreo y con
un sub´ındice 0 ya que el conjunto potencia de los naturales tiene cardinalidad
ℵ1 y as´ı sucesivamente
Nota:
que tengan la misma cardinalidad no es (a fondo) porque simplemente sean
infinitos

...lo escribí en LaTeX por eso los acentos se ven raros, pero me dio flojera arreglarlo jaja